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Álgebra y Matemática Discreta (2008)

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El presente curso pretende dar una visión de algunas técnicas matemáticas de gran importancia dentro de la Informática como son la Aritmética, el Álgebra Lineal y la Teoría de Grafos. Dada la extensión de dichos temas, hemos optado por seleccionar aquellos tópicos que sean más fácilmente aplicables. Concretamente, dentro de la Aritmética repasaremos algunos conceptos de aritmética entera para, posteriormente, entrar en la aritmética modular y de polinomios y estudiaremos su aplicación a algunos sistemas criptográficos sencillos. El apartado del Álgebra Lineal (el más extenso) se centra en el estudio de las aplicaciones lineales y las transformaciones y la geometría, prestando especial interés a las aplicaciones a su utilidad dentro dela Informática Gráfica. Finalmente haremos una breve introducción a la Teoría de Grafos viendo para cada tópico alguna de sus muchas aplicaciones (cálculo de árboles de peso mínimo, caminos más cortos, coloraciones y horarios, etc.) Como hemos comentado, en el curso intentaremos no solmente desarrollar dichos tópicos y exponer de forma breve algunas de sus aplicaciones dentro del mundo de la Informática. Estas aplicaciones son el hilo conductor de la asignatura y, además, sirven como motivación para el estudio de la misma.

 

Portada de Algebra y Matematica Discreta

FRANCISCO GUIL ASENSIO

GEMA Mª DÍAZ TOCA

SERGIO ESTRADA DOMÍNGUEZ

JUAN FÉREZ ALCANTARA


Departamento de Matemática Aplicada
Facultad de Informática
Universidad de Murcia

2008/2009

Septiembre 2008.

 

 

DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA

El presente curso contiene una introducción al Álgebra Lineal y a algunos tópicos de Matemática Discreta (Aritmética entera y modular y Teoría de Grafos). Los contenidos se han desarrollado tomando como eje central algu­nas de sus muchas aplicaciones a la Informática.
El bloque central (temas 2, 3 y 4) están dedicados al Álgebra Lineal, mientras que los capítulos 1 y 5 se dedican a Aritmética y Grafos (respectivamente).
Para el tema 1, hemos escogido desarrollarlo en paralelo a sus aplicaciones a la Criptografía ya que permite incluir (prácticamente) todos los tópicos necesar­ios a la vez que se insiste desde el principio en la aplicabilidad de este tópico, lo que permite evitar el riesgo de que los alumnos lo vean demasiado árido y alejado de sus intereses. Al margen de su aplicación a la criptografía, se comenta alguna otra aplicación (funciones hash, generación de números seudo-aleatorios,..).
Este primer tema nos sirve para tener las nociones necesarias para poder desarrollar los espacios vectoriales haciendo referencia a algunas de sus aplica­ciones en el caso de que el cuerpo base sea finito (códigos Hamming, etc).
El bloque formado por los temas 2, 3 y 4 se dedica al estudio del ´ Lineal y algunas de sus aplicaciones.
En muchos contextos diferentes se presentan problemas cuyo punto común es que sus componentes más sencillos pueden representarse como listas ordenadas de números (llamados vectores) y sobre los que se hacen transformaciones de un tipo bastante sencillo (transformaciones lineales) que pueden representarse mediante tablas bidimensionales de números (matrices).
Por poner solamente algunos ejemplos relacionados con la Informática ten­emos:

  • En Informática Gráfica se pretende construir y representar objetos geométricos. El elemento más simple es el punto que, dependiendo si estamos trabajando en 2 o 3 dimensiones, se representa mediante 2 o 3 números (sus coordenadas). Sobre estos puntos (o colecciones de ellos) se hacen diferentes transformaciones (giros, simetrías, iluminación, aplicación de texturas, etc.) que, como veremos, son lineales.

  • A la hora de codificar un mensaje, basta codificar cada letra por un número (lo que podemos hacer, por ejemplo, mediante su código ASCII), de forma que cada mensaje es una lista de números. A veces es interesante transformar estos mensajes para evitar errores (códigos correctores de errores) o para ocultar el mensaje (criptografía). Hay diferentes formas de hacer estas transformaciones y algunas de ellas son lineales.

  • A la hora de aplicar un color, esto suele hacerse mediante su código RGB, que es una lista de 3 números que indican la proporción de rojo, verde y azul a mezclar para obtener nuestro color (o cuatro colores si queremos indicar el nivel de transparencia). Por tanto un color es un vector. Algunas transformaciones sobre ellos (efectos de color) son lineales.

  • Siguiendo con el ejemplo anterior, una imagen bidimensional puede verse como una lista de píxeles. Por tanto, una imagen se representa por una lista de números que se obtiene poniendo en una lista los valores RGB de los distintos píxeles. Algunas transformaciones sobre imágenes (compresión de imágenes, filtros para mejorar la nitidez,..) son lineales.


El Álgebra Lineal presenta una colección amplia y variada de conceptos y técnicas que permiten tratar con estos vectores y las transformaciones lineales que se hacen sobre ellos. Es de destacar que estas técnicas no solamente se aplican, como hemos comentado, a muchos problemas diferentes sino que son bastante rápidos, por lo que se usan mucho en Informática.
El enfoque que hemos seguido para desarrollar el Álgebra Lineal se basa en los siguientes principios:

  • Hemos elegido una de las posibles aplicaciones como hilo conductor de toda la materia. Nuestra experiencia nos dice que intentar insistir a la vez en todas las aplicaciones del Álgebra Lineal no solamente es imposible, sino que puede hacer que la atención de los alumnos se disperse. La opción contraria (no indicar en cada caso para qué sirve cada concepto) lleva a los alumnos a ver el Álgebra Lineal como una disciplina muy abstracta y alejada de sus intereses.

  • A pesar de ello, siempre es interesante indicar pequeñas pinceladas sobre otras aplicaciones de las técnicas que veamos.

  • A la hora de elegir dicha aplicación, hemos tenido en cuenta tres aspectos: que sea lo suficiente amplia para que cubra (casi) todos los contenidos, que enlace de forma natural con conceptos ya conocidos por los alumnos y que sea suficientemente intuitiva para clarificar las definiciones.


Por todo ello, hemos elegido como hilo conductor la Geometría, pero vista desde el punto de vista de los conceptos y técnicas necesarias para la Informática Gráfica.
Si bien la Geometría es nuestro hilo conductor, hay otras aplicaciones del Álgebra Lineal que comparte algunas técnicas con la Geometría, pero no todas. Por eso hemos preferido empezar por aquellos conceptos comunes a todas las aplicaciones y dejar para el final las técnicas que son propiamente geométricas.
Finalmente, hemos partido la materia en tres temas. En los dos primeros se tratan los conceptos generales, dedicando el primero al estudio básico de los vectores y las construcciones que pueden hacer a partir de ellos (subespacios) y el segundo al estudio de las transformaciones lineales. Finalmente el tercero está dedicado a estudiar los conceptos de longitud y ángulo.
Como ya hemos comentado, la asignatura termina con un tema de intro­ducción a la Teoría de Grafos. Dado que las aplicaciones de dicha teoría se ven claras conforme vamos desgranando los tópicos que la conforman, no hemos creído insistir desde el principio en una aplicación concreta, sino que hemos preferido ir viéndolas conforme van apareciendo.
Teniendo en cuenta lo anterior, el material que hemos elaborado para cada tema se estructura de la siguiente forma:

1. Una introducción del tema en forma de presentación en el que se explique claramente:

  • Qué debemos de saber (o recordar) antes de empezar el tema

  • Qué conceptos pretendemos introducir y por qué son necesarios

  • Qué tipos de problemas nos vamos a encontrar dentro del tema y cuáles podremos resolver

  • Qué importancia tienen estos conceptos y técnicas para, al menos, una aplicación a la Informática.


Esta introducción debe usar un lenguaje informal, ya que los conceptos y técnicas se introducirán después. Además será necesariamente corto, por lo que solamente esbozará las aplicaciones del tema.

2. Para los temas 3, 4 y 5, un texto en el que, sin usar un lenguaje demasiado técnico, explicamos a los alumnos qué tipo de conceptos vamos a explicar en el tema. Esto se hace desde el punto de vista de su uso en un problema real (aunque sencillo) de la Informática Gráfica. El objetivo es que quede clara la necesidad de esos conceptos y técnicas. Al terminar de leer este texto, el alumno debe estar suficientemente motivado para empezar el estudio del tema.

3. Unos apuntes o resúmenes teóricos donde se desarrolle el tema. En ellos se desarrolla éste de forma más formal y correcta, si bien se procurará incluir suficientes ejemplos (completamente desarrollados) para ver cómo se aplican los conceptos en situaciones concretas.

4. Una serie de ejercicios propuestos que ejemplifiquen los diferentes prob­lemas que pueden resolverse usando las técnicas del tema. Para facilitar su uso, hemos dejado ejercicios resueltos de forma detallada de cada tipo de problema, dejando después varios ejercicios sin resolver para el trabajo del alumno. Dados que los conceptos tratados en los Temas 1 y 5 son totalmente nuevos para los alumnos, hemos dejado resueltos todos los problemas propuestos.

5. Finalmente, y como cierre del tema, un documento en forma de pre­sentación que permita a los alumnos repasar fácilmente los conceptos y técnicas tratados en el tema. En dicho documente se retoman los objetivos propuestos en la presentación inicial.

  • Para cada concepto o problema, qué relación tiene con la Informática.Finalmente hemos incluido un apéndice que no es propiamente una parte de la asignatura, sino que pretende hacer un repaso de aquellas técnicas lineales básicas (producto de matrices, cálculo de inversas de matrices, resolución de sistemas de ecuaciones lineales) que ya deben de haberse estudiado previamente. Se ha incluido a fin de que el material desarrollado sea lo más autocontenido posible, pero (a diferencia de lo que hacemos en los demás temas) no se incluyen aplicaciones a la Informática ni tampoco parte del material que será habitual en los demás temas (ejercicios propuestos o resueltos, etc.).

 

 

Copyright 2008, by the Contributing Authors. Cite/attribute Resource. Asensio, F. G., Toca, G. M. D., Domínguez, S. E. (2008, September 17). Álgebra y Matemática Discreta (2008). Retrieved May 26, 2017, from Portal de contenidos y cursos abiertos y gratuitos de la Universidad de Murcia Web site: http://ocw.um.es/ingenierias/algebra-y-matematica-discreta. Esta obra se publica bajo una licencia Creative Commons License. Creative Commons License