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Topología de Espacios Métricos (2010)

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Para el estudiante del Grado en Matemáticas, que inicia el segundo cuatrimestre, los conceptos asociados a la topología basada en una métrica, no son nuevos. Las ideas de convergencia, continuidad, abierto,... Ya se han estudiado, de forma incipiente en el bachillerato, y de manera más "intensa" en la asignatura Funciones de una variable real I. Se trata ahora pues, de introducir de forma sistemática y rigurosa, el concepto de distancia y de topología asociada a un espacio métrico; y, a partir de aquí, estudiar los principales conceptos topológicos en este tipo de espacios. Estamos ante una introducción a la Topología, a través de la teoría de los espacios métricos; y, por otra parte, ante la adquisición de conceptos básicos y necesarios para el estudio de otras asignaturas del Grado. La topología, en concreto la topología de los espacios métricos y, en particular de los espacios euclídeos, es básica en la formación de un matemático; y se hace necesaria para el desarrollo de otras materias ulteriores, como Análisis Matemático en Varias Variables, Ecuaciones Diferenciales, Topología y Geometría Diferencial, Análisis Funcional, Funciones de Variable Compleja, Métodos Numéricos, etc.

Portada-de-Topologia-de-Espacios-Metricos

pEDRO JOSÉ HERRERO PIÑEYRO

 



Departamento de Matemáticas.
Facultad de Matemáticas.
Universidad de Murcia.

 

2010/2011

Octubre 2010

Banda de Möbius con tanques y excavadoras circulando. Pintura mural en la calle Narodni de Praga. Obtenida en: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Praha_Narodni_trida_Moebiova_paska_s_tanky_a_buldozery.jpg
 

 

TITULACIÓN

Nombre de la asignatura TOPOLOGÍA DE ESPACIOS MÉTRICOS
Código 1575
Curso
Tipo Formación Básica
Créditos ECTS
Duración Cuatrimestral, 2o Cuatrimestre
Idiomas en que se imparte Español
Grado Matemáticas

 

PRERREQUISITOS Y CONOCIMIENTOS PREVIOS RECOMENDADOS

Es necesario que el alumno conozca los conceptos fundamentales sobre la teoría de conjuntos, el concepto de aplicación y sus diferentes tipos, conjunto finito e infinito, numerabilidad,... así como los conjuntos numéricos estandar; en especial, las propiedades de los números reales, sucesiones, funciones,... Es decir, los conocimientos correspondientes a las asignaturas de primer cuatrimestre:

  • Conjuntos y números.
  • Funciones de una variable real I.

No obstante en el material de la asignatura se incluye un capítulo 0, dedicado a los conocimientos previos necesarios.

 

DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA

Para el estudiante del Grado en Matemáticas, que inicia el segundo cuatrimestre, los conceptos asociados a la topología basada en una métrica, no son nuevos. Las ideas de convergencia, continuidad, abierto,... Ya se han estudiado, de forma incipiente en el bachillerato, y de manera más ``intensa‘‘ en la asignatura Funciones de una variable real I. Se trata ahora pues, de introducir de forma sistemática y rigurosa, el concepto de distancia y de topología asociada a un espacio métrico; y, a partir de aquí, estudiar los principales conceptos topológicos en este tipo de espacios.

Estamos ante una introducción a la Topología, a través de la teoría de los espacios métricos; y, por otra parte, ante la adquisición de conceptos básicos y necesarios para el estudio de otras asignaturas del Grado. La topología, en concreto la topología de los espacios métricos y, en particular de los espacios euclídeos, es básica en la formación de un matemático; y se hace necesaria para el desarrollo de otras materias ulteriores, como Análisis Matemático en Varias Variables, Ecuaciones Diferenciales, Topología y Geometría Diferencial, Análisis Funcional, Funciones de Variable Compleja, Métodos Numéricos, etc.

 

OBJETIVOS: CONOCIMIENTOS Y CAPACIDADES

  • Conocer y manejar el concepto de distancia y de espacio métrico.
  • Conocer y manejar con soltura los conceptos topológicos asociados a los espacios métricos: tipos de subconjuntos, continuidad, convergencia, compacidad, conexión, completitud,...
  • Introducir al alumno en el método demostrativo y desarrollar el pensamiento lógico y riguroso.
  • Resolver problemas en los que intervienen los diferentes conceptos estudiados y ser capaces de expresar con rigor, tanto oralmente como por escrito, los razonamientos que intervienen en la resolución.
  • Atender, fundamentalmente, a los métodos y las ideas, más que a los contenidos y resultados concretos.
  • Lograr un grado de madurez científica y una predisposición que le permita enfrentarse al planteamiento y resolución de problemas diversos, no estrictamente de naturaleza topológica.
  • Despertar en el alumno la capacidad de aplicar teorías generales a situaciones concretas, sintetizando resultados parciales y deduciendo otros más globales.

 

Las competencias de la titulación desarrolladas en la asignatura son las siguientes:

  • CGM-1: Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
  • CGM-2: Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
  • CGM-3: Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
  • CGM-4: Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.
  • CGM-5: Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.
  • CGM-6: Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
  • CGM-10: Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos.
  • CGM-11: Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas matemáticas.


Las competencias específicas de la asignatura son:

  1. Utilizar los conceptos básicos asociados a la noción de espacio métrico.
  2. Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topología métrica.
  3. Construir ejemplos de espacios métricos usando las nociones de subespacio métrico y espacio métrico producto.
  4. Saber calcular la adherencia, el interior y la frontera de subconjuntos de algunos espacios métricos, en particular, de los espacios euclídeos.
  5. Determinar cuándo una función entre espacios métricos es continua y, en particular, cuándo es un homeomorfismo.
  6. Identificar los subconjuntos conexos de la recta real y, en general, de los espacios euclídeos.
  7. Relacionar los conceptos de conexión y continuidad en un espacio métrico.
  8. Identificar los subconjuntos compactos de la recta real y, en general, de los espacios euclídeos.
  9. Relacionar los conceptos de compacidad y continuidad en un espacio métrico.
  10. Conocer las propiedades más sencillas de los espacios métricos completos.
  11. Relacionar los conceptos de completitud y compacidad en los espacios métricos.
  12. Saber caracterizar diferentes propiedades y conceptos topológicos mediante el uso de sucesiones, particularmente la continuidad, la adherencia, los subconjuntos cerrados y los subconjuntos compactos.

 

METODOLOGÍA

La participación activa del alumno es fundamental para su aprendizaje y para que pueda adquirir, en la medida adecuada, las capacidades que se proponen. Se plantean los siguientes tipos de clases y de actividades:

  • Clases magistrales: Son sesiones donde el profesor expondrá (bien en pizarra, bien con transparencias, bien con cañón de vídeo,...) los contenidos teóricos de la asignatura, que complementará con ejemplos, ejercicios y aplicaciones que faciliten al estudiante el aprendizaje de la materia. Se facilita a los estudiantes material escrito donde se incluyen los contenidos teóricos, con demostraciones de los resultados expuestos, ejemplos y numerosos ejercicios propuestos. El estudio previo de dicho material permitirá que el estudiante pueda seguir de forma adecuada y cómoda el desarrollo de la clase, así como interactuar en la explicación. No obstante, las clases magistrales, combinarán en su desarrollo, explicación del profesor, cuestiones que el profesor propone a los alumnos sobre lo que se está explicando, cuestiones que al alumno le surjan y plantee al profesor,...
  • Clases de problemas y ejercicios: El estudiante deberá resolver por su cuenta, a lo largo del desarrollo de cada capítulo, tanto ejercicios como problemas que propondrá el profesor. Algunos de ellos podrán ser expuestos posteriormente, por los propios estudiantes, en el aula y otros serán entregados por los alumnos por escrito. En estas clases se pondrán en común las ideas y dudas que surjan sobre los ejercicios y problemas. Además, cada dos semanas aproximadamente, el profesor podrá proponer uno o varios problemas que el alumno deberá entregar por escrito, en un plazo fijado, para su corrección y evaluación.
  • Talleres de problemas: Son sesiones donde los estudiantes trabajarán en pequeños grupos o individualmente, asistidos por el profesor, tareas, ejercicios o problemas que les sean propuestos, con anterioridad o en el momento. Al final de la clase cada grupo entregará, si el profesor lo considera oportuno, los resultados que haya obtenido o el material que haya elaborado en la sesión de trabajo. Los talleres de problemas se utilizarán fundamentalmente para efectuar un seguimiento de la evolución de cada estudiante en su pensamiento matemático, en su forma de expresión, claridad de la misma, etc. Cada alumno tendrá que exponer, a lo largo del curso uno, o varios problemas que haya resuelto.
  • Trabajos individuales: El alumno realizará, a petición del profesor algunos trabajos, de forma individual, como se ha indicado anteriormente.
  • Entrevistas individuales: Cada alumno podrá ser citado para analizar con el profesor sus progresos en la asignatura y realizar, en su caso, propuestas de mejora. En estas entrevistas se comentarán los ejercicios entregados hasta ese momento y cualquier otra cuestión que el profesor considere importante para el aprendizaje de la asignatura. Además, el alumno podrá acudir al profesor, siempre que lo estime necesario, en su horario de tutoría, para consultarle sus dudas o hablar con él de cualquier tema relacionado con esta asignatura o, en general, con sus estudios.
  • Consultas en tutoría: El alumno puede y debe utilizar las horas de atención a alumnos para consultar sus dudas de forma individualizada, bien de forma presencial, bien a través del Campus Virtual.

 

Copyright 2008, by the Contributing Authors. Cite/attribute Resource. Piñeyro, P. J. H. (2010, October 04). Topología de Espacios Métricos (2010). Retrieved April 25, 2017, from Portal de contenidos y cursos abiertos y gratuitos de la Universidad de Murcia Web site: http://ocw.um.es/ciencias/topologia-de-espacios-metricos. Esta obra se publica bajo una licencia Creative Commons License. Creative Commons License