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Geometría y Topología (2010)

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Esta asignatura está dedicada a iniciarse en el estudio de las variedades diferenciables, como generalización natural del concepto de superficie, que ya debe conocer el estudiante tras el estudio en tercer curso de la asignatura Geometría Diferencial. Cuando trabajamos con superficies de R3, o en general con subvariedades del espacio euclídeo Rn, estamos disfrutando de la ventaja de la simplicidad conceptual; en general, estamos más cómodos tratando con subespacios de Rn que con espacios métricos o topológicos arbitrarios. Sin embargo, esta aproximación a las variedades diferenciables tiene la desventaja de que importantes ideas están algunas veces ocultas por el familiar ambiente de Rn. Por esta razón, y tras haber motivado las variedades diferenciables con las superficies k-dimensionales de Rn, nos introduciremos en el estudio general de este concepto. La idea fundamental consiste en eliminar la dependencia del espacio euclídeo ambiente. El aspecto global de la Geometría Diferencial tiene su origen en el mismo punto de partida de la Topología Algebraica con H. Poincaré (1854-1912), y su desarrollo inicial está estrechamente ligado a la figura de E. Cartan (1869-1951), quien al poner en escena la teoría general de conexiones (método de la referencia móvil) coloca el carácter global de la Geometría Diferencial en su punto álgido, restando al aspecto local el protagonismo propio de la época, y estableciendo las diferencias de ambos aspectos, global y local, que aún admitiendo estudios por separado, de las interrelaciones entre ambos se extrae la gran riqueza de resultados propios de la Geometría Diferencial. Fue este interés por el estudio de las propiedades globales sobre una variedad lo que obligó a puntualizar adecuadamente las definiciones básicas. El primer intento serio fue el libro de O. Veblen (1880-1960) y J.H.C. Whitehead (1904-1960) titulado Foundations of Differential Geometry (1932), cuya idea esencial era la de definir rigurosamente las relaciones entre la variedad y los sistemas de coordenadas que se introducen en ella para su estudio, haciendo una clara distinción entre ambos conceptos. Se formula por primera vez, de manera explícita, que las variedades que estudia la Geometría Diferencial son un conjunto de dos elementos: primero, la variedad como conjunto de puntos, para cuya definición y tratamiento la Topología suministra los útiles y los medios necesarios; y segundo, un cierto conjunto de sistemas de coordenadas admisibles que permiten el estudio diferencial de la variedad y entre los cuales deberán existir ciertas fórmulas de transformación, o ciertas relaciones de equivalencia, que los vinculen entre sí y permitan pasar de unos sistemas a otros. Esta idea se fue puliendo y simplificando hasta llegar a la definición actual de variedad diferenciable, la cual es el resultado de sucesivos perfeccionamientos debidos principalmente a H. Whitney (Differentiable manifolds, Ann. of Math., 37 (1936), 645-480), C. Chevalley (Theory of Lie groups, Princeton, 1946), S.S. Chern (Topics in differential geometry, Princeton, 1951) y G. De Rham (Variétés différentiables, Hermann, Paris, 1955). A partir de mediados de los años 50 la definición de variedad diferenciable es ya usual en todos los textos de Geometría Diferencial.

Portada de Geometria y Topologia

PASCUAL LUCAS SAORÍN

 


Departamento de Matemáticas.
Facultad de Matemáticas.
Universidad de Murcia.

 

 

2010/2011

Agosto 2010

Circle Limit III (1959), M.C. Escher. http://www.mcescher.com/Gallery/recogn-bmp/LW434.jpg

 

TITULACIÓN

Nombre de la asignatura GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA
Código 01A9
Curso
Tipo Troncal
Créditos ECTS 9
Duración Anual
Idiomas en que se imparte Español

 

PRERREQUISITOS Y CONOCIMIENTOS PREVIOS RECOMENDADOS

  • Geometría y topología de curvas y superficies en R3.
  • Conocimientos básicos de topología general, en especial sobre conexión, compacidad y continuidad.
  • Conocimientos básicos de álgebra lineal y de cálculo diferencial e integral en varias variables.

 

DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA

Esta asignatura está dedicada a iniciarse en el estudio de las variedades diferenciables, como generalización natural del concepto de superficie, que ya debe conocer el estudiante tras el estudio en tercer curso de la asignatura Geometría Diferencial. Cuando trabajamos con superficies de R3, o en general con subvariedades del espacio euclídeo Rn, estamos disfrutando de la ventaja de la simplicidad conceptual; en general, estamos más cómodos tratando con subespacios de Rn que con espacios métricos o topológicos arbitrarios. Sin embargo, esta aproximación a las variedades diferenciables tiene la desventaja de que importantes ideas están algunas veces ocultas por el familiar ambiente de Rn. Por esta razón, y tras haber motivado las variedades diferenciables con las superficies k-dimensionales de Rn, nos introduciremos en el estudio general de este concepto. La idea fundamental consiste en eliminar la dependencia del espacio euclídeo ambiente.

El aspecto global de la Geometría Diferencial tiene su origen en el mismo punto de partida de la Topología Algebraica con H. Poincaré (1854-1912), y su desarrollo inicial está estrechamente ligado a la figura de E. Cartan (1869-1951), quien al poner en escena la teoría general de conexiones (método de la referencia móvil) coloca el carácter global de la Geometría Diferencial en su punto álgido, restando al aspecto local el protagonismo propio de la época, y estableciendo las diferencias de ambos aspectos, global y local, que aún admitiendo estudios por separado, de las interrelaciones entre ambos se extrae la gran riqueza de resultados propios de la Geometría Diferencial.

Fue este interés por el estudio de las propiedades globales sobre una variedad lo que obligó a puntualizar adecuadamente las definiciones básicas. El primer intento serio fue el libro de O. Veblen (1880-1960) y J.H.C. Whitehead (1904-1960) titulado Foundations of Differential Geometry (1932), cuya idea esencial era la de definir rigurosamente las relaciones entre la variedad y los sistemas de coordenadas que se introducen en ella para su estudio, haciendo una clara distinción entre ambos conceptos. Se formula por primera vez, de manera explícita, que las variedades que estudia la Geometría Diferencial son un conjunto de dos elementos: primero, la variedad como conjunto de puntos, para cuya definición y tratamiento la Topología suministra los útiles y los medios necesarios; y segundo, un cierto conjunto de sistemas de coordenadas admisibles que permiten el estudio diferencial de la variedad y entre los cuales deberán existir ciertas fórmulas de transformación, o ciertas relaciones de equivalencia, que los vinculen entre sí y permitan pasar de unos sistemas a otros.

Esta idea se fue puliendo y simplificando hasta llegar a la definición actual de variedad diferenciable, la cual es el resultado de sucesivos perfeccionamientos debidos principalmente a H. Whitney (Differentiable manifolds, Ann. of Math., 37 (1936), 645-480), C. Chevalley (Theory of Lie groups, Princeton, 1946), S.S. Chern (Topics in differential geometry, Princeton, 1951) y G. De Rham (Variétés différentiables, Hermann, Paris, 1955). A partir de mediados de los años 50 la definición de variedad diferenciable es ya usual en todos los textos de Geometría Diferencial.

 

OBJETIVOS: CONOCIMIENTOS Y CAPACIDADES

  • Utilizar los conceptos básicos asociados a la noción de variedad diferenciable.
  • Conocer y manejar los conceptos de subvariedades e immersiones.
  • Conocer y manipular los campos de vectores sobre una variedad.
  • Saber integrar campos de vectores y manejar grupos uniparamétricos.
  • Conocer y utilizar con soltura las uno-formas.
  • Conocer y desenvolverse con soltura en tensores y campos de tensores.
  • Utilizar y manejar las derivaciones tensoriales.
  • Conocer y manipular con soltura las formas diferenciales, la diferencial exterior y el producto interior.
  • Conocer y utilizar las variedades diferenciables con borde.
  • Saber integrar formas diferenciables en variedades.
  • Conocer y utilizar el teorema de Stokes.

 

METODOLOGÍA

La metodología empleada en la asignatura combinará convenientemente las actividades que se describen a continuación.

  • Clases teóricas: Son sesiones donde el profesor expondrá (bien en pizarra, bien con transparencias o con cañón de vídeo) los contenidos teóricos de la asignatura, que complementará con ejemplos, ejercicios y aplicaciones que faciliten al estudiante el aprendizaje de la materia. Los estudiantes dispondrán de material escrito y bibliográfico donde se incluyen los contenidos teóricos, con demostraciones de los resultados expuestos (o indicaciones de las mismas), y numerosos ejercicios propuestos (y, muchas veces, resueltos). El estudio previo de dicho material permitirá que el estudiante pueda seguir de forma adecuada y cómoda el desarrollo de la clase.
  • Clases de ejercicios: El estudiante deberá resolver por su cuenta, al finalizar cada capítulo, una lista de problemas, algunos de los cuales serán expuestos posteriormente, por los propios estudiantes, en el aula. Además, periódicamente el profesor propondrá uno o varios problemas que el alumno deberá entregar por escrito, en un plazo fijado, para su corrección y evaluación.
  • Pruebas de control: Se realizarán cuatro controles escritos con una duración de 1 hora. Dichos controles, que se realizarán en horario de clase, no deberían requerir ninguna preparación extraordinaria por parte del estudiante que realice habitualmente las tareas propias de la asignatura. Se realizará una prueba de control a la finalización de cada capítulo.
  • Examen final: Además de las pruebas de control anteriores, se realizará un examen final en la fecha establecida por la Junta de Facultad. Aquellos alumnos que no superen la asignatura en la convocatoria de junio, tendrán una nueva oportunidad en la convocatoria de septiembre, en la fecha oficialmente aprobada.

 

 

Copyright 2008, by the Contributing Authors. Cite/attribute Resource. Saorín, P. L. (2010, August 17). Geometría y Topología (2010). Retrieved June 24, 2017, from Portal de contenidos y cursos abiertos y gratuitos de la Universidad de Murcia Web site: http://ocw.um.es/ciencias/geometria-y-topologia. Esta obra se publica bajo una licencia Creative Commons License. Creative Commons License