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Análisis Matemático II es una asignatura troncal de 15 créditos dedicada esencialmente al estudio de las funciones de varias variables reales. El núcleo de la asignatura está dedicado al Cálculo Diferencial e Integral junto con los requisitos topológicos que le dan fundamento. En esta asignatura, que sirve de base para el estudio de temas más avanzados del Análisis Matemático tratados en cursos posteriores, se completa y culmina el estudio de los contenidos de carácter troncal referentes al cálculo diferencial e integral con funciones de una variable iniciados en Análisis Matemático I. Las materias que integran esta asignatura son clásicas y de reconocida utilidad en diversos campos del saber científico (Física, Ingeniería, Economía, Estadística, Informática...) por lo que se suelen enseñar, con mayor o menor profundidad, en todas las titulaciones de carácter científico. En la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Murcia se suelen dedicar 90 horas a clases teóricas y 60 horas a clases prácticas (50 en talleres de problemas y 10 para prácticas con el programa DpGraph).
Programa de la asignatura
Tema 1. Introducción.
Diversas formas de describir analíticamente curvas y superficies. Curvas y superficies de nivel. Introducción a los sistemas de coordenadas curvilíneas
Tema 2. Sucesiones y series de funciones.
Convergencia puntual y convergencia uniforme. Condición de Cauchy y criterio de Weierstrass. Teoremas sobre continuidad, derivabilidad e integrabilidad del límite de una sucesión de funciones. Versiones para series.
Tema 3. Espacios métricos y espacios normados.
Normas en Rn. Noción general de espacio normado. Normas en C[a, b]. Normas equivalentes. Topología de un espacio normado. Espacios completos. Conjuntos compactos.
Tema 4. Límites y continuidad
Límite funcional. Condición de Cauchy. Continuidad en un punto y continuidad global. Extremos de funciones reales continuas en conjuntos compactos.
Continuidad uniforme y convergencia uniforme. Espacios normados de dimensión finita. Norma de una aplicación lineal continua.
Tema 5. Integral de Riemann de funciones de varias variables.
Funciones integrables Riemann en un intervalo. Propiedades de la integral. Integrabilidad de las funciones continuas. Conjuntos medibles Jordan y definición de la integral sobre estos conjuntos. Los conjuntos de contenido nulo y su papel en el cálculo integral. Conjuntos de medida nula y caracterización de las funciones integrables.
Tema 6. Técnicas de cálculo integral y aplicaciones
Integración iterada y cambio de variable. Cálculo de integrales dobles y triples. Aplicaciones geométricas y físicas del cálculo integral.
Tema 7. Funciones definidas por integrales.
Integrales impropias. Paso al límite bajo la integral. Continuidad y derivabilidad de las integrales dependientes de un parámetro.
Tema 8. Funciones vectoriales de variable real
Cálculo diferencial para funciones vectoriales de variable real. Teorema del incremento finito y desarrollo de Taylor. Longitud de un arco de curva. Integral respecto al arco.
Tema 9. Aplicaciones diferenciables.
Funciones de varias variables: Derivada según un vector y derivadas parciales. Aplicaciones diferenciables. Condición suficiente de diferenciabilidad. Regla de la cadena. Gradiente. Interpretaciones geométricas. Teorema del incremento finito.
Tema 10. Diferenciabilidad de orden superior.
Funciones varias veces diferenciables. Derivadas parciales de orden superior. Permutabilidad del orden de las derivaciones.
Desarrollo de Taylor para funciones de varias variables. Funciones convexas.
Tema 11. Funciones inversas e implícitas.
Teorema de la función inversa. Cambios de variable y coordenadas curvilíneas. Funciones implícitas. Noción de subvariedad diferenciable de Rn. Espacio tangente.
Tema 12. Optimización.
Extremos sin restricciones. Extremos condicionados: Método de los multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones geométricas.
Tema 13. Integral de línea.
Campos de vectores y formas diferenciales. Integración curvilínea: Independencia del camino y existencia de función potencial. Teorema de Green. Aplicaciones.
Tema 14. Cálculo vectorial.
Área de una superficie. Integración de funciones sobre superficies. Integración de campos y formas diferenciales sobre superficies. Teoremas clásicos del Análisis Vectorial.
