Material de clase
Acciones de Documento
Análisis Matemático II es una asignatura troncal de 15 créditos dedicada esencialmente al estudio de las funciones de varias variables reales. El núcleo de la asignatura está dedicado al Cálculo Diferencial e Integral junto con los requisitos topológicos que le dan fundamento. En esta asignatura, que sirve de base para el estudio de temas más avanzados del Análisis Matemático tratados en cursos posteriores, se completa y culmina el estudio de los contenidos de carácter troncal referentes al cálculo diferencial e integral con funciones de una variable iniciados en Análisis Matemático I. Las materias que integran esta asignatura son clásicas y de reconocida utilidad en diversos campos del saber científico (Física, Ingeniería, Economía, Estadística, Informática...) por lo que se suelen enseñar, con mayor o menor profundidad, en todas las titulaciones de carácter científico. En la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Murcia se suelen dedicar 90 horas a clases teóricas y 60 horas a clases prácticas (50 en talleres de problemas y 10 para prácticas con el programa DpGraph).
Lecciones de Análisis Matemático II
La 
versión completa en formato .pdf de estas Lecciones permite navegar a lo largo del texto y acudir directamente a las referencias y a las citas bibliográficas.
Indice general y prólogo.
Capítulo 1. Preliminares sobre funciones de varias variables. Capítulo 1
Introducción. Funciones de una variable. Funciones de varias variables. Coordenadas curvilíneas. Ejercicios propuestos.
Capítulo 2. Espacios métricos y espacios normados. Capítulo 2
El espacio Rn. Espacios normados. Sucesiones y conjuntos compactos. Espacios completos. Normas en C[a, b]. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.
Capítulo 3. Límites y continuidad. Capítulo 3
Definiciones y resultados básicos. Reglas para obtener el límite y la continuidad. Funciones continuas en conjuntos compactos. Espacios normados de dimensión finita. Continuidad uniforme. Convergencia uniforme. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.
Capítulo 4. Funciones vectoriales de una variable. Capítulo 4
Derivada de una función vectorial. Desarrollo de Taylor. Integral de una función vectorial. Caminos rectificables. Integral respecto al arco. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.
Capítulo 5. Funciones diferenciables. Capítulo 5
Derivada según un vector. Aplicaciones diferenciables. Las reglas del cálculo diferencial. Gradiente. Espacio tangente. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.
Capítulo 6. Funciones dos veces diferenciables. Capítulo 6
Funciones dos veces diferenciables. Extremos relativos. Funciones convexas. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.
Capítulo 7. Desarrollo de Taylor. Capítulo 7
Funciones diferenciables m veces. Desarrollo de Taylor. Serie de Taylor de una función de clase C∞. Fórmula integral para el resto. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.
Capítulo 8. Función inversa y función implícita. Capítulo 8
Aplicaciones con inversa local. Funciones implícitas. Cálculo con funciones implícitas e inversas. Cambio de variable en el cálculo diferencial. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.
Capítulo 9. Extremos condicionales. Capítulo 9
Subvariedades diferenciables. Extremos condicionados. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.
Capítulo 10. Integral de Riemann. Capítulo 10
Funciones integrables Riemann. Conjuntos medibles Jordan. Caracterización de las funciones integrables. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.
Capítulo 11. Técnicas de cálculo integral. Capítulo 11
Integración iterada. Utilización del cambio de variable. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.
Capítulo 12. Integrales Impropias. Integrales dependientes de un parámetro. Capítulo 12
Integrales impropias. Paso al límite bajo la integral. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.
Capítulo 13. Integral curvilínea. Capítulo 13
Formas diferenciales e integral curvilínea. Formas diferenciales en el plano. El teorema de Green. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.
Capítulo 14. Integrales de superficie. Capítulo 14
Preliminares geométricos. Área de una superficie. Integral respecto al elemento de área. Flujo de un campo de vectores. Integración sobre variedades paramétricas k-dimensionales. Ejercicios resueltos.
A. Sucesiones y series de funciones. Apéndice A
Convergencia puntual y uniforme. Continuidad, derivabilidad e integrabilidad del límite. Series de funciones. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.
B. Complementos al capítulo 2. Apéndice B
La recta real. Completitud y compacidad. Espacios de sucesiones. Formas lineales y producto escalar. Espacios complejos con producto interior.
C. Complementos al capítulo 3. Apéndice C
Intercambio de limites. Convergencia uniforme de series de funciones vectoriales.
D. Integración de funciones vectoriales. Apéndice D
Integración de funciones regladas. Definición general de la integral de Riemann.
E. Complementos sobre diferenciabilidad. Apéndice E
Caracterización de las funciones de clase C1.La definición general de diferencial segunda. Teorema de Schwarz sobre la igualdad de las derivadas mixtas.
F. Funciones convexas. Apéndice F
Caracterización de las funciones convexas de una variable. Continuidad de las funciones convexas de varias variables.
G. Funciones analíticas. Apéndice G
Funciones analíticas.
H. Dependencia funcional. Subvariedad diferenciables. Apéndice H
Dependencia e independencia funcional. Parametrizaciones regulares. Subvariedades orientables.
I. Extremos y formas cuadráticas. Apéndice I
J. Cambio de variable en la integral de Riemann. Apéndice J
Preliminares. La demostración del teorema de cambio de variable.
K. Formas diferenciales. Apéndice K
Producto mixto y producto vectorial. Formas multilineales alternadas. Formas diferenciales.
El material que se ofrece en estas Lecciones es fruto de una larga experiencia docente enseñando esta materia en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Murcia. Contiene, además de los contenidos básicos de la asignatura, otro material complementario que en alguna ocasión ha sido expuesto o entregado por escrito a los alumnos. Por esta razón, el Capítulorio desarrollado en estas Lecciones está adaptado y cubre lo que habitualmente se enseña en la Facultad de Matemáticas de esta Universidad, aunque excede lo que se puede enseñar durante un curso académico. Para solventar esta dificultad aquellos Capítulos que se pueden considerar de carácter complementario o más avanzado, han sido incluidos en apéndices independientes al final del texto.
Allí el estudiante interesado podrá ampliar y estudiar con mayor profundidad algunos de los Capítulos propios de la asignatura.
A lo largo del texto se exponen con detalle ejemplos que ilustran y aclaran los conceptos teóricos nuevos. Cada capítulo termina con un repertorio de problemas resueltos donde se analizan comentan y enseñan diferentes estrategias para abordarlos, seguido de un amplio repertorio de problemas propuestos.
Por su enfoque, por el amplio repertorio de problemas resueltos, y por los Capítulos complementarios incluidos, estas Lecciones puedan interesar no sólo a los estudiantes de Matemáticas que quieran profundizar en los asuntos propios del Análisis Matemático II, sino a profesores jóvenes que comiencen a enseñar de esta materia. Esperamos que también sean útiles a estudiantes de otras titulaciones, de carácter científico, que estudien, en universidades de habla hispana, el cálculo diferencial e integral para funciones de varias variables.
Los conocimientos previos asumidos al redactar estas Lecciones han sido:
-
Cálculo Diferencial y Cálculo Integral para funciones reales de una variable real.
-
Nociones básicas de Álgebra Lineal (aplicaciones lineales, matrices y determinantes) y de Geometría Euclídea.
-
El vocabulario y la terminología usual de la Teoría de Conjuntos y de la Topología en el ámbito del espacio euclídeo o de los espacios métricos:
Conjuntos abiertos, cerrados, compactos. Frontera, interior y adherencia de un conjunto (esencialmente, el capítulo 2 y la primera parte del capítulo 3 del libro de Apostol [2]).
