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Análisis Matemático II (2008)

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Análisis Matemático II es una asignatura troncal de 15 créditos dedicada esencialmente al estudio de las funciones de varias variables reales. El núcleo de la asignatura está dedicado al Cálculo Diferencial e Integral junto con los requisitos topológicos que le dan fundamento. En esta asignatura, que sirve de base para el estudio de temas más avanzados del Análisis Matemático tratados en cursos posteriores, se completa y culmina el estudio de los contenidos de carácter troncal referentes al cálculo diferencial e integral con funciones de una variable iniciados en Análisis Matemático I. Las materias que integran esta asignatura son clásicas y de reconocida utilidad en diversos campos del saber científico (Física, Ingeniería, Economía, Estadística, Informática...) por lo que se suelen enseñar, con mayor o menor profundidad, en todas las titulaciones de carácter científico. En la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Murcia se suelen dedicar 90 horas a clases teóricas y 60 horas a clases prácticas (50 en talleres de problemas y 10 para prácticas con el programa DpGraph).

Portada de Analisis Matematico II

GABRIEL VERA

SALVADOR SANCHEZ-PEDREÑO

 

Departamento de Matemáticas.
Facultad de Matemáticas.
Universidad de Murcia.

 

2008/2009

Noviembre 2008

Michael Spivak atribuye a Lord Kelvin la siguiente frase: ''Un matemático es aquel para quien esta igualdad es tan obvia como para usted que dos y dos son cuatro''

 

TITULACIÓN

Nombre de la asignatura ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Código 0A6
Curso
Tipo Troncal
Créditos LRU 15
Créditos ECTS 42
Duración Anual
Idiomas en que se imparte Español

 

PRERREQUISITOS Y CONOCIMIENTOS PREVIOS RECOMENDADOS

El cálculo diferencial e integral para funciones reales de una variable real. Conocimientos básicos de álgebra lineal (aplicaciones lineales, matrices y determinantes) y de geometría euclídea.
Es conveniente que el estudiante conozca y esté familiarizado con las nociones básicas de la topología en el ámbito del espacio euclídeo o de los espacios métricos.

 

DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA

Análisis Matemático II es una asignatura troncal de 15 créditos dedicada esencialmente al estudio de las funciones de varias variables reales. El núcleo de la asignatura está dedicado al Cálculo Diferencial e Integral junto con los requisitos topológicos que le dan fundamento. En esta asignatura, que sirve de base para el estudio de temas más avanzados del Análisis Matemático tratados en cursos posteriores, se completa y culmina el estudio de los contenidos de carácter troncal referentes al cálculo diferencial e integral con funciones de una variable iniciados en Análisis Matemático I.
Las materias que integran esta asignatura son clásicas y de reconocida utilidad en diversos campos del saber científico (Física, Ingeniería, Economía, Estadística, Informática...) por lo que se suelen enseñar, con mayor o menor profundidad, en todas las titulaciones de carácter científico.
En la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Murcia se suelen dedicar 90 horas a clases teóricas y 60 horas a clases prácticas
(50 en talleres de problemas y 10 para prácticas con el programa DpGraph).

 

OBJETIVOS: CONOCIMIENTOS Y CAPACIDADES

 

OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA

  • Un objetivo transversal de esta asignatura es que los alumnos continúen practicando y perfeccionando el lenguaje y el método propio de la Matemática. Además de comprender las demostraciones de los teoremas, se pretende que los alumnos aprendan a detectar el papel de las hipótesis mediante ejemplos y contraejemplos adecuados.

  • Otro objetivo transversal de la asignatura es iniciar a los alumnos en el conocimiento y manejo de la geometría analítica tridimensional. Este objetivo se abordará al analizar e interpretar geométricamente diversos conceptos y rultados, y al plantear y resolver problemas clásicos de naturaleza geométrica.

  • Conocer y manejar las nociones de Análisis Matemático que son básicas para el estudio de esta y otras asignaturas del área: Convergencia y continuidad uniforme. Norma en un espacio de funciones. Compacidad y completitud. Límites y continuidad de funciones reales de varias variables reales.

  • Conocer los fundamentos y el formalismo del Cálculo Diferencial de funciones vectoriales de varias variables reales y saber utilizarlo para resolver problemas clásicos (geométricos y de optimización). Conocer los fundamentos del Cálculo Integral, para funciones reales de varias variables reales, y saber aplicarlo para el cálculo de áreas y volúmenes y otros problemas clásicos.

  • Conocer los fundamentos de la integración sobre dominios curvos (integral curvilíneas y de superficie) y los resultados básicos del Análisis Vectorial, donde confluyen el Cálculo Diferencial y el Cálculo integral.

  • Adquirir destreza en la modelización y resolución de problemas de la vida real que se puedan abordar  combinando técnicas del cálculo diferencial e integral.


COMPETENCIAS ESPECÍFICAS DE LA ASIGNATURA

  • Distinguir entre la convergencia puntual y la convergencia uniforme y averiguar los intervalos de la recta real sobre los que converge uniformemente una sucesión o serie de funciones concreta (que puede depender de un parámetro).

  • Conocer y saber aplicar las condiciones que permiten intercambiar el orden de dos procesos sucesivos de paso al límite. Entender el papel que desempeña la convergencia uniforme en estos problemas.

  • Saber utilizar el cálculo diferencial e integral de funciones vectoriales de variable real para resolver problemas clásicos de naturaleza física y geométrica (sobre el movimiento de una partícula, movimiento planetario). Cálculo de longitudes de curvas paramétricas. Integración de funciones sobre curvas

  • Conocer la noción de espacio tangente a una curva o superficie y saber obtener sus ecuaciones cuando esta viene dada en forma explícita, implícita o paramétrica.

  • Conocer la noción general de subvariedad diferenciable de Rn y la de espacio tangente a la misma en un punto.

  • Analizar propiedades locales y globales de regularidad para funciones de varias variables (Continuidad, grado de diferenciabilidad, analiticidad, continuidad uniforme, convexidad...)

  • Razonar con inversas locales y con funciones definidas implícitamente.

  • Plantear y resolver problemas de optimización con y sin restricciones de ligadura, haciendo énfasis en el planteamiento de problemas que modelizan situaciones reales.

  • Manejar adecuadamente los sistemas de coordenadas curvilíneas usuales (polares, cilíndricas, esféricas... ) y utilizarlos para efectuar cambios de variable en operadores diferenciales, resolver ecuaciones funcionales sencillas y calcular integrales múltiples.

  • Aplicar las técnicas de cálculo integral de varias variables (Integración reiterada y cambio de variable) para calcular integrales múltiples. Resolver problemas que impliquen el cálculo de integrales, procedentes de las aplicaciones geométricas y físicas del cálculo integral: Volúmenes de sólidos (en particular de revolución) cálculo de masas y centros de masa, momentos de inercia.

  • Conocer los resultados básicos del análisis vectorial clásico (Integrales de línea y de superficie) y saber aplicarlos e interpretarlos en el lenguaje de la Física.

  • Conocer y saber utilizar los resultados clásicos sobre continuidad, y derivabilidad de funciones definidas mediante series o integrales que dependen de  un parámetro.

  • Conocer y utilizar algún programa de representación gráfica de curvas y superficies en el espacio ordinario para interpretar geométricamente los conceptos básicos de la materia. (Visualización del comportamiento local de una función, de los puntos estacionarios en los problemas de extremos con ligaduras, de recintos de integración...)

 

 

Copyright 2008, by the Contributing Authors. Cite/attribute Resource. Vera, G., Sánchez-Pedreño, S. (2008, September 29). Análisis Matemático II (2008). Retrieved May 25, 2017, from Portal de contenidos y cursos abiertos y gratuitos de la Universidad de Murcia Web site: http://ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-ii. Esta obra se publica bajo una licencia Creative Commons License. Creative Commons License