\documentclass{beamer} \usetheme{Warsaw} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[spanish]{babel} \def\N{\mathbb{N}} \def\natnums{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\R{\mathbb{R}} \def\reals{\mathbb{R}} \def\C{\mathbb{C}} \def\K{\mathbb{K}} \hypersetup{% pdftitle={Presentación A},% pdfauthor={}} \title[Análisis Matemático I]{Análisis Matemático I: Cálculo diferencial} \author{Presentaciones de Clase} \institute{Universidad de Murcia} \date{Curso 2007-2008} \begin{document} \frame{\titlepage} \section[Índice]{} \frame{\tableofcontents} \begin{alertblock}{Objetivos} \begin{itemize} \item Definir, entender y aplicar el concepto de función derivable. \item Estudiar la relación entre derivabilidad, crecimiento, máximos y mínimos, optimización, etc. \item Estudiar la aproximación de funciones mediante polinomios: fórmula de Taylor. \item Estudiar la noción de convexidad: relación con la derivabilidad. \end{itemize} \end{alertblock} \section{Funciones derivables} \begin{frame} \frametitle{Funciones derivables}\footnotesize \begin{block}{Definición} Una función $f: I\rightarrow \reals$ definida en un intervalo abierto $I$ de $\R$ se dice que es derivable en $c\in I$ si existe $$\lim _{h\to 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}:= f'(c).$$ El valor $f'(c)$ recibe el nombre de derivada de $f$ en $c$ y es frecuente llamar a $$\frac{f(c+h) - f(c)}{h}$$ cociente incremental de $f$ en $c$. \end{block} \onslide<2->{ \begin{alertblock}{Interpretaciones} \begin{enumerate} \item<2-|alert@2> Geométrica: como la pendiente de la recta tangente. \item<3-|alert@3> Física: como la velocidad. \end{enumerate} \end{alertblock} } \end{frame} \begin{frame}\frametitle{Funciones derivables}\footnotesize \begin{block}{Definición} Una función $f:I \rightarrow \reals$ definida en un intervalo abierto $I$ se dice derivable en $I$ si $f$ es derivable en cada punto de $I$. La función $f':I\rightarrow \reals$ así definida se llama la función derivada de $f$. \end{block} \onslide<2->{ \begin{alertblock}{Ejemplos} \begin{enumerate} \item<2-|alert@2> $f:I\subset\reals\rightarrow \reals$ es una función constante en un intervalo $I$, entonces $f$ es derivable en $I$ con derivada nula \item<3-|alert@3> $f:I\subset\reals\rightarrow \reals$ está definida por $f(x)=x$ entonces $f$ es derivable en $I$ con derivada $f'(x)=1$ para todo $x\in I$ \item<4-|alert@4> La función $f:\reals\rightarrow \reals$ definida por $f(x)=|x|$, es derivable en todo punto $c\neq 0$ y no es derivable en $c=0$. \item<5-|alert@5> La función $f$ definida en $\reals$ mediante $f(x)=x^n$, $n\in\natnums$, es derivable en $\reals$ y su derivada es la función $f'(x)=nx^{n-1}$. \item<6-|alert@6> La función seno, $g(x)=\sin x$, es derivable en $\reals$ con derivada $g'(x)=\cos x$ y la función coseno, $h(x)=\cos x$, también es derivable en $\R$ con derivada $h'(x)=-\sin x$. \end{enumerate} \end{alertblock} } \end{frame} \begin{frame}\frametitle{Funciones derivables}\footnotesize \begin{alertblock}{Ejemplos} \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{5} \item<1-|alert@1> La función exponencial, $f(x)=e^x$, es derivable en $\reals$ y su derivada es la función $f'(x)=e^x$. \item<2-|alert@2> La función logaritmo, $f(x)=\log x$ es derivable en $(0,\infty)$ y $f'(x)=1/x$. \item<3-|alert@3> $f(x)=x\sin (1/x)$ si $x\not = 0$ y $f(0)=0$ no es derivable en $x=0$. En cambio sí es derivable en todo $\reals$ la función $g$ dada por $g(x)=x2 \sin (1/x)$ si $x\not = 0$ y $g(0)=0$. \end{enumerate} \end{alertblock} \end{frame} \begin{frame}\frametitle{Derivadas laterales}\footnotesize \begin{block}{Definición} Para funciones definidas en un intervalo en que los límites $$ \lim _{h\to 0^+} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}:= f'(c^+)\qquad \lim _{h\to 0^-} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}:= f'(c^-)$$ existan, llamamos derivada por la izquierda $f'(c^-)$ de $f$ en $c$ y de derivada por la derecha $f'(c^+)$ de $f$ en $c$. \end{block} \pause \begin{alertblock}{Ejemplo} $f:\reals\rightarrow \reals$ definida por $f(x)=|x|$. En $x=0$ la función no es derivable, pero tiene derivada por la izquierda y por la derecha. \end{alertblock} \end{frame} \begin{frame}\frametitle{Aproximación local: diferenciabilidad}\footnotesize \begin{block}{Observación} El hecho de que exista la derivada de $f$ en $c$ y valga $m$ puede formularse diciendo que \begin{equation} f(c+h)=f(c)+ mh + h\alpha (h) \end{equation} donde $\alpha (h)$ es una función definida en un entorno reducido del origen con la propiedad de que $\lim_{h\to 0} \alpha (h) =0$. \end{block} \pause \begin{block}{Definición} Llamaremos entorno reducido de $a\in\mathbb K$ a cualquier conjunto de la forma $V\setminus\{a\}$ siendo $V$ un entorno de $a$. \end{block} \pause \begin{alertblock}{} La ecuación anterior también se escribe a veces en la forma \begin{equation} f(c+h)=f(c)+ m h + o(h) \end{equation} donde $o(h)$ representa una función definida en un entorno reducido de $0$ con la propiedad de que $\lim_{h\to 0}\dfrac{o(h)}{h} =0$. La función $o(h)$ se llama una «\textit{o pequeña de}~$h$». \end{alertblock} \end{frame} \begin{frame}\frametitle{Aproximación local: diferenciabilidad}\footnotesize \begin{block}{Definición} Una función $f: I\rightarrow\reals$ se dice diferenciable en el punto $c\in I$ si existe una aplicación lineal $L: \reals\rightarrow \reals$, llamada diferencial de $f$ en $c$ y denotada con $df(c)$, tal que $$\lim_{h\to 0} \dfrac{f(c+h)-f(c)-L(h)}{h} =0$$ \end{block} \pause \begin{block}{Definición} $f$ es una función derivable en el punto $c$ si y sólo si $f$ es diferenciable en $c$ y, en ese caso, $df(c)(x)=f'(c) x$. \end{block} \pause \begin{block}{Proposición} Si $f:I\subset\reals\rightarrow \reals$ es una función derivable en $c\in I$ entonces $f$ es continua en $c$. \end{block} \end{frame} \begin{frame}\frametitle{Propiedades de funciones derivables}\footnotesize \begin{block}{Proposición} Si $f,g$ son funciones del intervalo abierto $I\subset\reals$ en $\reals$ derivables en un punto $c\in I$ entonces: \begin{enumerate} \item La suma $f+g$ es derivable en $c$ con $$(f+g)' (c) =f'(c)+g'(c).$$ \item El producto $fg$ es derivable en $c$ con $$(fg)' (c) =f'(c)g(c)+f(c)g'(c).$$ \item Si $g(c)\not = 0$ en $I$ entonces $f/g$ es derivable en $c$ y $$\Big(\frac{f}{g}\Big)'(c)=\dfrac{f'(c)g(c)-f(c)g'(c)}{g2(c)}.$$ \end{enumerate} \end{block} \end{frame} \begin{frame}\frametitle{Propiedades de funciones derivables} \begin{block}{Regla de la cadena} Sean $I_1, I_2$ intervalos abiertos de $\R$ y sean las funciones $f_1:I_1\longrightarrow \R$ y $f_2 :I_2 \longrightarrow \R$ tales que $f_1 (I_1 )\subset I_2$. Si $f_1$ es derivable en $c\in I_1$ y $f_2$ es derivable en $f_1 (c)$ entonces $f_2 \circ f_1$ es derivable en $c$ y $$(f_2 \circ f_1 )' (c)= f'_2 (f_1 (c)) f'_1 (c).$$ \end{block} \end{frame} \end{document}