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Material de clase

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El primer curso de Análisis Matemático a nivel universitario está destinado al estudio de las funciones reales de una variable real. Se imparte en la asignatura troncal anual de 18 créditos Análisis Matemático I. El núcleo esencial es el cálculo diferencial e integral, y en torno a este núcleo se van configurando otros elementos que le dan consistencia y fundamento o que sirven para ilustrar la enorme utilidad, para una gran variedad de problemas, de los conceptos y técnicas desarrollados en la asignatura. La asignatura profundiza, fundamenta y completa conocimientos que los alumnos poseen sobre esta materia y sirve de cimiento e instrumento para el estudio de otros temas más avanzados del Análisis Matemático que se abordarán en cursos posteriores.

Temas de Teoría

 

Tema 0. Índice. pdf Indice

Tema 1. Primitivas. Cambio de variable. Integración por partes. Funciones racionales. Algunas funciones irracionales. Funciones trigonométricas. pdf Tema 1

Tema 2. Números reales y complejos: Definición axiomática de R. Primeras propiedades. Potencias y raíces. Valor absoluto. El cuerpo de los números complejos. Valor absoluto. pdf Tema 2

Tema 3. Sucesiones numéricas. Sucesiones convergentes. Sucesiones monótonas. Subsucesiones y teorema de Bolzano-Weierstrass. Sucesiones de Cauchy. Completitud de R y C. Potencias de base real positiva y exponente real. Órdenes fundamentales de infinitud. pdf Tema 3

Tema 4. Funciones continuas y límites: Continuidad en un punto y continuidad global. Teorema de Bolzano y propiedad de los valores intermedios. Continuidad y monotonía. Función inversa. Continuidad uniforme. pdf Tema 4

Tema 5. Cálculo diferencial: Concepto de derivada. Regla de la cadena. Teoremas de Rolle y del incremento finito. Extremos de funciones derivables. Teorema de la función inversa. Regla de L’Hospital. Fórmula de Taylor. Funciones convexas. Estudio local de funciones. Asíntotas. Dibujo de gráficas. pdf Tema 5

Tema 6. Cálculo integral: Integral de Riemann. Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow. Integración por partes. Cambio de variable en integrales definidas. pdf Tema 6

Tema 7. Series numéricas e integrales impropias: Series numéricas e integrales impropias de primera y segunda especie. Criterios de convergencia por comparación para series de términos positivos y funciones no negativas. Criterio de la integral. Criterios del cociente y la raíz. Propiedades asociativa y disociativa para series. Convergencia absoluta de series e integrales. Teorema de Riemann sobre convergencia incondicional de series. Producto de series. Criterios de Dirichlet y Abel sobre convergencia de series e integrales no absolutamente convergentes. Algunos métodos de sumación de series. pdf Tema 7

Tema 8. Series de potencias y funciones elementales: Series de potencias. La función exponencial real y compleja. La función logaritmo. Las funciones trigonométricas. Medida de los ángulos. Representación geométrica de complejos, potencias y raíces. Teorema fundamental del Álgebra. pdf Tema 8


Diaporamas de clase

 

Diaporamas concebidos como guión de secciones específicas de los temas de teoría y proyectados en las explicaciones del profesor en clase. Visualice el fichero pdf a pantalla completa.

 

Copyright 2008, by the Contributing Authors. Cite/attribute Resource. Material de clase. (2008, June 12). Retrieved May 17, 2012, from Portal Web site: http://ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-i/material-de-clase. Esta obra se publica bajo una licencia Creative Commons License. Creative Commons License