\documentclass{article} \usepackage[latin9]{inputenc} \usepackage[pdftex,spanish]{web} %designi \usepackage{exerquiz} \usepackage{graphicx} \usepackage{amsmath} \addtolength{\textwidth}{1cm} \addtolength{\textheight}{1cm} \useBeginQuizButton[\textColor{0 0 1 rg}\CA{Inicio del Test}\AC{}\RC{}\rectW{}] \useEndQuizButton[\textColor{0 0 1 rg}\CA{Final del Test}\AC{}\RC{}\rectW{}] \author{José M. Mira} \title{Análisis Matemático. Test sobre continuidad} \begin{document} \thispagestyle{empty} \hspace*{-1cm} \includegraphics[width=2cm]{umu} \quad \begin{minipage}[b]{0.38\linewidth} {\sffamily\bfseries UNIVERSIDAD \\ DE MURCIA} \par \rule{\linewidth}{1.5pt} \par \small\textsl{Departamento de Matemáticas} \end{minipage} \begin{minipage}[b]{0.60\textwidth} \bfseries \begin{center} \Large Análisis Matemático I \\ Test sobre continuidad \\ 10 de marzo de 2008 \end{center}\end{minipage} \bigskip\par \parindent 0pt \begin{quiz}*{qzgrade} \begin{enumerate} \item Si $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ para todo $x\in\mathbb R$ y existen los límites $\lim_{x\rightarrow a} f(x)$ y $\lim_{x\rightarrow a} h(x)$ entonces: \begin{questions} \item Existe $\lim_{x\rightarrow a} g(x)$. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item $g$ está acotada en un entorno de $a$. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \item $g$ no está acotada en ningún entorno de $a$. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item Si $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=\lim_{x\rightarrow a} h(x)$ entonces existe $\lim_{x\rightarrow a} g(x)$ y es igual al valor común de los límites anteriores. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \end{questions} \item Sea $p(x)=ax3+bx2+cx+d$ un polinomio real de grado 3. \begin{questions} \item $p$ tiene al menos un cero en $\mathbb R$. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \item $p$ no cambia el signo en $\mathbb R$. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item $\lim_{x\rightarrow +\infty} p(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty} p(x)=+\infty$. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item Los límites $\lim_{x\rightarrow +\infty}p(x)$ y $\lim_{x\rightarrow -\infty} p(x)$ son infinitos y de signo opuesto. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \end{questions} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Sea $I$ un intervalo y $f:I\longrightarrow (0,+\infty)$ continua, entonces: \begin{questions} \item Existe $k>0$ tal que $f(x)\geq k$ para todo $x\in I$. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item Si $I=[a,b]$ existe $k>0$ tal que $f(x)\geq k$ para todo $x\in I$. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \item Si $I=[a,+\infty)$ y existe $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ entonces existe $k>0$ tal que $f(x)\geq k$ para todo $x\in I$. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \item Si $I=[a,+\infty)$ y $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=l>0$ entonces existe $k>0$ tal que $f(x)\geq k$ para todo $x\in I$. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \end{questions} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item La ecuación $\log(x)-x2+2x=0$ tiene: \begin{questions} \item Una única solución en $(0,+\infty)$. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item Al menos dos soluciones, una al menos en $(0,+\infty)$ y otra en $(-\infty,0)$. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item Al menos dos soluciones en $(0,+\infty)$. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \item Ninguna solución en $\mathbb R$. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \end{questions} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Sea $I\subset \mathbb R$ un intervalo y $f:I\to \mathbb R$ una función continua. Entonces: \begin{questions} \item $f(I)$ es un intervalo. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \item $f(I)$ es un intervalo únicamente si $I$ es cerrado y acotado. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item Si $f$ no se anula entonces ó $f(I)\subset \{x\in \mathbb R: x>0\}$ ó $f(I)\subset \{x\in \mathbb R: x<0\}$. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \item $f(I)\cap \{x\in \mathbb R: x>0\}\neq \emptyset$ y $f(I)\cap \{x\in \mathbb R: x<0\}\neq \emptyset$ \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \end{questions} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Sea $f:[a,b]\longrightarrow\mathbb R$ continua y tal que $f(a)=f(b)=0$. Entonces: \begin{questions} \item $f$ alcanza valores positivos y negativos. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item $f$ alcanza su máximo absoluto y su mínimo absoluto en $(a,b)$. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item $f$ alcanza su máximo absoluto o su mínimo absoluto en $(a,b)$. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \item Si $f$ no alcanza su máximo absoluto en $(a,b)$ entonces $f(x)\leq 0$ para todo $x\in [a,b]$. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \end{questions} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Sea $f:(0,1)\longrightarrow\mathbb R$ continua y tal que existen $\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)$ y $\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)$, entonces: \begin{questions} \item $f$ es acotada. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \item $f$ alcanza su máximo absoluto y su mínimo absoluto. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \item No puede existir una función $f$ con las propiedades dadas, salvo que sea constante. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item $f$ es uniformemente continua. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \end{questions} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Sea $f:[0,+\infty)\longrightarrow\mathbb R$ no acotada, entonces: \begin{questions} \item $f$ no puede ser uniformemente continua, aunque sea continua. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=+\infty$ o $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=-\infty$. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item Existe una sucesión $(x_n)$ tal que $\lim_nx_n=+\infty$ y $\lim_n \lvert f(x_n)\rvert=+\infty$. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \item Si para todo $x\in [0,+\infty)$ se tiene $f(x)\neq 0$ entonces $1/f$ es continua y acotada. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \end{questions} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Sea $f:(0,+\infty)\longrightarrow\mathbb R$ uniformemente continua, entonces: \begin{questions} \item Existe $\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)$. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \item Existe $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item $f$ es acotada. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item $f$ es acotada sobre $(0,a)$ para cualquier $a>0$. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \end{questions} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Sea $f:[0,1]\longrightarrow\mathbb R$ estrictamente creciente. Entonces: \begin{questions} \item Su imagen es el intervalo $[f(0),f(1)]$. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item $f$ es continua. \begin{answers}{2} \Ans0 Verdadero & \Ans1 Falso \end{answers} \item Si su imagen no es el intervalo $[f(0),f(1)]$ entonces existe algún $c\in[0,1]$ en el que $f$ no es continua. \begin{answers}{2} \Ans1 Verdadero & \Ans0 Falso \end{answers} \item Si existe un punto $d\in (0,1)$ donde $f$ no es continua entonces existen $\lim_{x\rightarrow d^-}=l_-$ y $\lim_{x\rightarrow d^+}=l_+$ y se verifica $l_-