Análisis Matemático I (2008)

JOSÉ MANUEL MIRA ROS BERNARDO CASCALES SALINAS SALVADOR SÁNCHEZ-PEDREÑO GUILLÉN   Departamento de Matemáticas Facultad de Matemáticas Universidad de Murcia   2007/2008 Noviembre 2008

Polinomios de Taylor. Dibujados con MAXIMA

TITULACIÓN

DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA

El primer curso de Análisis Matemático a nivel universitario está destinado al estudio de las funciones reales de una variable real. Se imparte en la asignatura troncal anual de 18 créditos Análisis Matemático I.

El núcleo esencial es el cálculo diferencial e integral, y en torno a este núcleo se van configurando otros elementos que le dan consistencia y fundamento o que sirven para ilustrar la enorme utilidad, para una gran variedad de problemas, de los conceptos y técnicas desarrollados en la asignatura.

La asignatura profundiza, fundamenta y completa conocimientos que los alumnos poseen sobre esta materia y sirve de cimiento e instrumento para el estudio de otros temas más avanzados del Análisis Matemático que se abordarán en cursos posteriores.

CONOCIMIENTOS PREVIOS RECOMENDADOS

•  No se requieren conocimientos previos distintos de los programados en Bachillerato.

OBJETIVOS

• Es objetivo trasversal de la asignatura introducir a los alumnos en el método y en el lenguaje matemáticos combinando la práctica con la explicitación del mismo. Los alumnos deben habituarse a saber analizar, comprender y reproducir demostraciones de algunos teoremas importantes, así como a discutir con ejemplos y contraejemplos la función de las hipótesis en la tesis y a identificar errores en razonamientos incorrectos.

• Fundamentar el conjunto de los números reales y las propiedades de las aplicaciones entre números reales, así como la definición de las funciones elementales.

• Particularmente estudiar las propiedades más interesantes para el Análisis: continuidad, derivabilidad e integrabilidad así como el empleo de series de potencias en la representación de las funciones.

• Manejar con soltura distintas clases de funciones que intervienen en las matemáticas y en la modelización de fenómenos y saber utilizar el cálculo diferencial e integral en relación con su estudio.

• Saber relacionar la intuición geométrica con los conceptos y teoremas formales para integrar adecuadamente el aprendizaje.

• Iniciar al alumno en los métodos del Análisis Matemático, y específicamente en los relacionados con la noción de convergencia y sus aplicaciones.

• Visualizar y resolver problemas con funciones utilizando aplicaciones de cálculo simbólico y numérico y programas de representación gráfica de funciones.

METODOLOGÍA DIDÁCTICA

La metodología combinará la clase magistral, los talleres de problemas, las prácticas con ordenador y el trabajo autónomo (personal o grupal). Además, al menos dos veces por cuatrimestre, cada alumno tendrá una entrevista personal con un profesor de la asignatura para analizar el proceso de aprendizaje y realizar, en su caso, propuestas de mejora.

• En las clases magistrales (en pizarra o con cañón de vídeo) el profesor explicará los contenidos teóricos de la asignatura y realizará ejemplos, ejercicios y aplicaciones que faciliten al estudiante el aprendizaje de la teoría y las técnicas de aplicación. Se utilizará el método deductivo de las Matemáticas junto con el empleo de herramientas informáticas de cálculo simbólico, numérico y dibujo, adecuadas a la consecución de los objetivos del curso.              Se proporcionará a los estudiantes unas notas de clase que incluirán enunciados y ejemplos de forma detallada, con demostraciones sintéticas de los mismos, o referencias bibliográficas concretas. También aparecerán ejercicios resueltos y propuestos, que podrán requerir la herramienta informática. Ocasionalmente el alumno deberá proceder a la lectura individual de ciertos apartados teóricos, para, más tarde, discutirlos con el profesor en el aula.

• En los talleres de problemas los estudiantes trabajarán, individualmente o en pequeños grupos, asistidos por el profesor, tareas, ejercicios o problemas que les sean propuestos, con anterioridad o en el momento, en conexión con los contenidos teóricos o prácticos, como aplicación y profundización de los mismos. Ocasionalmente los alumnos podrán exponer la solución de ejercicios en la pizarra.

  Realizada con disciplina y esfuerzo, esta es una actividad muy importante para el aprendizaje y para ir conformando el «estilo» de trabajo matemático, más allá incluso, de los propios contenidos concretos de la asignatura. La discusión, replanteamiento de un problema, forma de expresión, génesis de las ideas, etc. son elementos básicos en el aprendizaje matemático y se desea que estén presentes en estos talleres. 

• Las ilustraciones realizadas mediante el ordenador y el programa MAXIMA en el aula representan un complemento importante en el aprendizaje de los conceptos. Se intenta aprovechar la tecnología de que disponemos hoy en día para visualizar, aprehender y mejorar la intuición sobre distintos conceptos y objetos matemáticos. El alumno debe practicar con este programa individualmente. Se le proporcionará material suficiente para el aprendizaje de MAXIMA. 

• El trabajo autónomo personal (que puede combinarse con el trabajo en grupo) realizado con constancia y regularidad es el complemento necesario para los dos anteriores. Se alimenta de ellos y es imprescindible para poder sacarles partido.
  El esfuerzo se dedicará unas veces a afianzar la comprensión o memorización de las clases magistrales, otras a preparar los talleres o a revisar a posteriori aquellos aspectos que no se terminaron de comprender bien y otras, en fin, a realizar las tareas de problemas o prácticas que hayan de ser entregados para la evaluación continua.

• El estudio de las matemáticas es una tarea que requiere mucho tiempo de reflexión serena, personal, silenciosa. . .  El estudiante debe ir aprendiendo a ser consciente de ello, a saber «aguantar» horas de estudio y reflexión, que a veces pueden ser, incluso, aparentemente improductivas. Los talleres de problemas representan una fórmula mixta, en la que se desea facilitar y aprender el hábito del trabajo autónomo con la presencia del profesor y los compañeros.

COMPETENCIAS DE LA TITULACIÓN

TI1

Capacidad de análisis y síntesis

TI2

Capacidad de organización y planificación

TI3

Comunicación oral y escrita en la lengua nativa

TI5

Conocimientos de informática relativos al ámbito de estudio

TI7

Resolución de problemas

TP4

Habilidades en las relaciones interpersonales

TP6

Razonamiento crítico

TS1

Aprendizaje autónomo

TS2

Adaptación a nuevas situaciones

TS3

Creatividad

ED2

Conocimientos disciplinares de Análisis Matemático

EP3

Visualización e interpretación de soluciones

EP6

Identificación y localización de errores lógicos

EP8

Aplicación de los conocimientos a la práctica

EP12

Utilización de herramientas de cálculo

EA4

Expresión rigurosa y clara

EA5

Razonamiento lógico e identificación de errores en los procedimientos

EA6

Generación de curiosidad e interés por las matemáticas y sus aplicaciones

EO1

Capacidad de crítica

EO3

Capacidad de abstracción

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS DE LA ASIGNATURA

• Conocer y saber utilizar las propiedades de los números reales y de los otros conjuntos numéricos, en particular el manejo de desigualdades y las técnicas de inducción.

• Saber discutir la existencia de límites de sucesiones en relación con la propiedad de Cauchy, la monotonía, o el teorema de Bolzano-Weierstrass.

• Capacidad de relacionar la existencia de límite funcional con la continuidad y con los límites de sucesiones. Conocer y saber utilizar los teoremas relativos a funciones continuas en intervalos: propiedad de los valores intermedios, máximos y mínimos absolutos y continuidad uniforme.

• Adquirir el concepto de derivada y las destrezas necesarias para el cálculo de derivadas de funciones concretas. Saber aplicar el cálculo de derivadas para el análisis del comportamiento y el dibujo de funciones y para la resolución de problemas concretos que pueden ser abordados mediante el análisis de ciertas funciones. Calcular y estudiar extremos de funciones.

• Comprender el significado de los desarrollos de Taylor y saber utilizarlos para realizar cálculos aproximados del valor de una función, o para la discusión de problemas en los que esté involucrado comparaciones de funciones en términos de tamaños relativos (limites, convergencia de series e integrales impropias) o en la posibilidad de describir funciones mediante series de potencias («polinomios infinitos»).

• Conseguir las destrezas necesarias para evaluar integrales y calcular áreas, utilizando el teorema fundamental del cálculo, el cambio de variable, la integración por partes y las técnicas de cálculo de primitivas, incluyendo el cálculo de ciertas integrales impropias.

• Aplicar las técnicas de derivación e integración de series de potencias para sumar series numéricas o series de potencias concretas.

• Saber utilizar algún programa informático específico para realizar cálculos simbólicos.

• Saber utilizar aplicaciones informáticas con recursos gráficos y numéricos para visualizar las propiedades de continuidad y derivabilidad de las funciones reales, y para plantear y resolver problemas concretos.